GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

1. Gradien

- Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.

- Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m(gradien)

- Sedangkan pada persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya :

by = -ax – c

y = -a/bx – c/b

m(gradient) = -a/b

contoh soal : tentukan gradien persamaan garis 2x+4y+5 = 0

4y = -2x-5

y = -2/4 x - 5/4

 maka m = -2/4 = -1/2 

cara cepat = -a/b = -2/4

Macam-macam gradien :

a) Gradien bernilai positif 

Bila m (+)  contoh : 6x - 2 y – 9 = 0

m = - (6/-2) = 3 (positif)

b) Gradien bernilai negative

Bila m (-) Contoh : 6x + 3y – 9 = 0

m = - (6/3) = -2 (negative)

c) Gradien garis melalui pangkal koordinat

Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) maka : m = y/x

contoh : Gradient Garis yang melalui titik (0,0) dan (2,-3) adalah :

m = y/x = -3/2

d) Gradien garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)

sebuah garis lurus dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P (x1 y1) dan Q (x2 Y2) , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x = (y2-y1)/(x2-x1) 

contoh : Gradien melalui titik (-4,5) dan (2,-3)

m = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3

Hubungan 2 garis lurus :

Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :

1) m1 = m2 jika garis k sejajar garis l 

contoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8

a = 3 , b = 6

m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar : m1=m2 , maka m2 = -1/2

2) m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurus

garis l contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8

a = 3 , b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1 , maka m2 = 2

2. Persamaan Garis Lurus

a) Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah :

y - y1 = m (x - x1)

Contoh 1 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.

jawab :

Titik A(-3,4), berarti x­1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2

Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :

y - y1 = m ( x - x1 )

y - 4 = -2 {x - (-3)}

y - 4 = -2 (x + 3 )

y - 4 = -2 x - 6

y = -2x - 6 + 4

y = -2x - 2

Contoh 2 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)

jawab :

Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)

P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5

Q(-6,3) berarti x2 = -6 , y2 = 3

Gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah

m (PQ) Misal mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar )

Titik B(6, 2), berarti x­1 = 6 , y1 = 2

Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :

y - y1 = m ( x - x1 )

y - 2 = -1 (x - 6)

y - 2 = -x + 6

y = -x + 6 + 2

y = -x + 8

b) Persamaan garis yang melalui dua titik

Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :

dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),

yaitu y - y1 = m ( x - x1 ) dapat diperoleh rumus berikut :

y - y1 = m ( x - x1 )

y - y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)] (x - x1)

(y - y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

Kesimpulan :

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu : (y - y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) 

jawab : Garis l melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).

A(3,4) berarti x1 = 3 , y1 = 4

B(5,8) berarti x2 = 5 , y2 = 8

Persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :

(y - y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

(y-4) / (8-4) = (x-3) / (5-3)

(y-4) / 4 = (x-3) / 2

2(y - 4) = 4(x - 3)

2y - 8 = 4x - 12

2y - 4x = 8 - 12

2y - 4x = -4

y - 2x = -2

>> Hubungan 2 garis lurus

1) Persamaan garis yang saling sejajar

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x - 5

jawab : y = 2x - 5  maka m = 2 m1 = m2 = 2 (karna sejajar) 

maka :

y - y1 = m (x-x1)

y - 3 = 2 (x-2)

y = 2x-4+3

y = 2x -1

2) Persamaan garis yang tegak lurus

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x - 5

jawab : y = 2x - 5  maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2

maka persamaan garisnya :

y - y1 = m (x-x1)

y - 3 = -1/2 (x-2)

y = -1/2 x + 1 + 3

y = -1/2 x + 4

kali 2

2y = -x + 4

2y + x - 4 = 0

3) Persamaan garis yang berhimpit

garis-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing" merupakan kelipatan dari a, b, c..

>> Buktikan ! garis 2x+4y+3 = 0 berhimpit dg garis 6x+12y+9 = 0

4) Persamaan garis yang berpotongan

dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.

>> Tentukan hubungan garis h1 = 6x - 3y - 5 dengan garis h2 = 3x + 4y + 6 !