POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN

Pada pembahasan kali ini kita akan membahas apa aja sih ?

1) Pola Bilangan

2) Barisan Bilangan

3) Barisan dan Deret Aritmatika

4) Barisan dan Deret Geometri

***************************

1) Pola Bilangan

A. Pengertian  Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu.  Misalnya pada kalender terdapat susunan angka" baik mendatar, menurun, diagonal (miring).

B. Jenis dan Bentuk Pola Bilangan

a) Pola Bilangan Ganjil

o

o

o o

o

o

o o o

berikut pola titik" yang menyatakan suatu bilangan ganjil yang dinyatakan dengan banyak titik nya , yaitu 1, 3, 5, dst

b) Pola Bilangan Genap

o o

o

o o o

o

o

o o o o 

berikut pola titik" yang menyatakan suatu bilangan genap yang dinyatakan dengan banyak titik nya , yaitu 2, 4, 6, dst

c) Pola Bilangan Segitiga Pascal

(Bentuk Segitiga) >> diperoleh dari penambahan baris diatasnya ..

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1 ....

d) Pola Bilangan Persegi

o

o o

o o

o o o

o o o

o o o

... Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari bilangan asli . Un= n^2

e) Pola Bilangan Persegi Panjang

o o

o o o

o o o

o o o o

o o o o

o o o o

... Pola bilangan persegi panjang :: 2, 6, 12, ... Un = n(n+1)

f) Pola bilangan segitiga

Bentuk segitiga sama sisi >>

o

o

o o

o

o o

o o o

... Pola bilangan segitiga :: 1, 3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)

2. Barisan Bilangan

Jenis-jenis barisan bilangan ::

a. Barisan Bilangan Genap

Barisan: 2, 4, 6, 8, ...

Deret: 2 + 4 + 6 + 8 + …

Rumus Suku ke-n: Un = 2n

Jumlah n suku pertama: Sn = n² + n

2. Barisan Bilngan Ganjil 

Barisan: 1, 3, 5, 7, 9, …

Deret: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …

Rumus Suku ke-n: Un = 2n – 1

Jumlah n suku pertama: Sn = n²

3. Barisan Bilangan Persegi ( Kuadrat )

Barisan: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …

Deret: 1 + 4 + 9 + 25 + 36 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n²

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/6 n( n + 1 )( 2n + 1 )

4. Barisan Bilngan Kubus ( Kubik )

Barisan: 1, 8, 27, 64, 125, 216, …

Deret: 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n³

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/4 n² ( n + 1 )²

5. Barisan Bilangan Segitiga

Barisan: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …

Deret: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …

Rumus Suku ke-n: Un = 1/2 n ( n + 1 )

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

6. Barisan Bilangan Persegi Panjang

Barisan: 2, 6, 12, 20, 30, 42, …

Deret: 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n ( n + 1 )

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

7. Barisan Bilangan Balok

Barisan: 6, 24, 60, 120, …

Deret: 6 + 24 + 60 + 120 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/4 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )

8. Barisan Bilangan Fibonacci

Barisan Bilangan Fibonacci adalah barisan yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku di depannya.

Barisan:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Deret: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + …

Rumus Suku ke-n: Un = Un - 1 + Un – 2

C. Barisan dan Deret Aritmatika

1) Barisan Aritmatika

 Barisan Aritmatika adalah barisan dimana suku berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan suatu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda (b).

 Bentuk umum :: a , a+b , a+2b , a+3b , ... , a+(n-1)b

beda (b) = U2-U1 = U3-U2 = .... = Un-U(n-1)

Un = a+(n-1)b 

dengan :

a = suku pertama

b = beda ( selisih )

n = banyaknya suku

Un = suku ke-n yaitu suku terakhir

2) Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah semua suku pada barisan aritmatika. 

Bentuk umum :: a + (a+b) + (a+2b) + ... + a+(n-1)b

Jumlah n suku pertama deret aritmatika Sn , Sn = n/2 (a+Un) atau Sn = n/2 (2a+(n-1)b)

deret barisan aritmatika bermacam – macam, yang penting barisan yang di buat memenuhi syarat tersebut, contohnya adalah sebagai berikut : Deret: 1, 5, 9, 13, 17, …

dapatkah kawan – kawan meneruskannya ? iya’, mudah sekali,karena apa ? kita mengetahui polanya,yaitu mempunya beda 4,dan suku selanjutnya adalah 21, 25, … dan barisan aritmatika juga dapat kita batasi sendiri yang penting memenuhi syarat tadi…….

sebetulnya barisan aritmatika mempunya banyak macam, tapi kita anak smp hanyalah ini yang di ajari di sekolah, untuk sekedar pengayaan, ada juga aritmatika tingkat 2, kalau itu tadi tingkat 1.

secara umum dapat di tulis :

Rumus Suku ke-n : Un = an² + bn + c

tapi kita harus mencari dulu nilai a, b, dan c, hanya sebagai ilmu tambahan aja ^^ .. lain kali kita bahas ya :D

3. Sifat Barisan dan Deret Aritmetika

a) Jika U1, U2, U3, U4 -> barisan aritmetika maka berlaku :

>> 2 U2 = U1 + U3

>> U2+U3 = U1+U4

b) Hubungan antara Un dan Sn

Un = Sn - S(n-1)

c) Sisipan pada barisan artimatika

apabila diantara 2 suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka beda suku baru setelah sisipan adalah : b' = b / (k+1) 

dengan :

b' = beda setelah sisipan

b = beda sebelum sisipan

k = banyak suku sisipan 

banyaknya suku baru setelah sisipan adalah: n' = n+(n-1)k 

dengan :

n' = banyak suku setelah sisipan

n = banyak suku sebelum sisipan

k = banyaknya suku sisipan

Jumlah n suku pertama sesudah sisipan adalah : Sn' = n'/2 (2a+(n'-1)b')

ex : Diantara 5 dan 50 disisipi 8 bilanagn sehingga membentuk barisan aritmatika. Tentukan barisan tersebut .. jawab : beda sebelum sisipan = b = 50-5 = 45 beda sesudah sisipan  b' = b / (k+1) = 45/(8+1) = 45/9 = 5 jadi barisan yg dibentuk : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.

4. Suku Tengah Aritmatika

Ut = (a+Un)/2

dengan :

Ut = suku tengah

Un = suku ke-n

a = suku pertama

D. Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan dimana suku-suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Bilangan tetap itu rasio (r)

Bentuk umum :: a , ar, ar^2 , ... , ar^(n-1)

r = U2/U1 = U3/U2 = ... = Un/U(n-1)

Un = ar^(n-1) 

dengan :

a = U1 = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

untuk r

untuk r>1 disebut geometri naik (barisan divergen)

2) Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah semua suku pada barisan geometri, 

Bentuk umum :: a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1).

Jumlah n suku pertama deret geo (Sn)

Sn = a[(r^n - 1)/(r-1)] , r>1

Sn = a[(1 - r^n)/(1-r)] , r

Jika nilai rasio (r) adalah 0 < r < 1 maka jumlah n suku sampai tak hingga adalah :

S~ =a/(1-r) dengan :

a= suku pertama

r = rasio

3. Sifat Barisan dan Deret Geometri

a) Jika U1, U2, U3, U4 adalah barisan geometri

>> (U2)^2 = U1 * U3

>> U1 * U4 = U2 * U3

b) Hubungan antara Un dan Sn

Un = Sn - S(n-1)

c) Sisipan pada barisan geometri

apabila diantara dua suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan geometri baru maka rasio baru setelah sisipan adalah : r' = (k+1)'V(r) = (k+1) akar pangkat dari r

dengan:

r' = rasio setelah sisipan

r = rasio sebelum sisipan

k = banyaknya suku sisipan

banyaknya suku baru setelah sisipan adalah  n' = n+(n-1)k

dengan :

n' = banyaknya suku setelah sisipan

n = banyaknya suku sebelum sisipan

k = banyknya suku sisipan

jumlah n suku pertama setelah sisipan :

Sn' = a [{(r')^(n'-1)} / (r' - 1) ] , r'>1

Sn' = a[{1 - (r')^n} / (1-r') ] , r' < 1

4. Suku tengah geometri

Ut = V(a. Un)

Ut:suku tengah

a : suku pertama

Un: suku ke-n