PERSAMAAN KUADRAT

Ada 3 cara dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu :

1) Memfaktorkan

2) Menggunakan Rumus ABC

3) Melengkapkan kuadrat sempurna

1. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan Memfaktorkan "

a. memfaktorkan ax^2 +bx+c dengan a=1.

Langkah-Langkahnya :

1) bentuk (x+.....).(x+....) disiapkan

2) titik-titik diisi dengan bilangan,

misal : m dan n  shngga faktor dari  x^2 +bx +C= (x+m)(x+n) dengan syarat  m x n =C, dan m + n = b,

Contoh soal : Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 -5x +6=0 ?

Jawab : tentukan terlebih dahulu a =1, b= -5, c=6

-Langkah I, (x+m)(x+n)

-Langkah 2, m x n = 6 dan m + n = -5 maka di peroleh lah bahwa m, n yg memnuhi adalah m=-2 dan n=-3

gantikan nilai m,n maka  faktor dari  x^2-5x +6 adalah (x-2)(x-3)

maka akar-akarnya adalah

x^2 -5x +6=0

(x-2)(x-3)=0

x-2 =0

x=2  atau

x-3=0

x=3

Sehingga diperoleh lah
bahwa akar2nya adalah 2 dan 3

b. memfaktorkan ax^2 +bx +c untuk a =/= 1

Langkah-Langkah sbb :

1) bentuk, 1/a. (a.x+.....).(a.x+.....) disiapkan

2) titik-titik diisi dengan bilangan.

Misal : m dan n shngga  ax^2 +bx +c = 1/a. (ax+m)(ax+n) dgn syarat  m x n =a.c dan m + n = b

Contoh Soal :

Cari akar-akar persamaan 3x^2 +2x-x =0 dgn cara Pemfaktoran :

jawab :

tentukan a=3 b=2 c=-8

Langkah 1, 1/3. (3x+m)(3x+n)

Langkah 2, m x n = 3 . 8 = 24  dan m + n = 2 maka diperoleh lah m= -4 dan n =6

shngga dapat ditulis 3x^2 +2x -8 = 0

1/3. (3x-4).(3x+6)=0

akar-akarnya adalah

3x-4 =0

x=4/3 atau 

3x +6= 0

x= -6/2 =-3

2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan Rumus ABC "

Perhatikan cara mendapatkan Rumus ABC, berikut : 

persamaan umum, ax^2 +bx +c =0  (kedua ruas dibagi a )

x^2 +bx/a + c/a =0

x^2 +bx/a =-c/a (kedua ruas ditambah (b^2)/(4a^2) )

x^2 +bx/a +(b^2)/(4a^2) =(b^2)/(4a^2) -c/a

bentuknya dapat diubah menjadi :

( x + b/2a)^2 = (b^2 -4ac)/4a^2 (kedua ruas di akarkan

) x + b/2a =+-V[ (b^2-4ac)/4a^2]

x= -b/2a +- (1/2a).V(b^2-4ac) 

diperoleh lah Rumus ABC : x=(-b +- V(b^2-4ac)/2a

*Keterangan :

V akar

^ pangkat

+- plus minus :)

" 3. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengn melengkapkan kuadrat sempurna "

Caranya Sama saat menemukan Rumus ABC (baca postingan sebelumnya)

Contoh Soal : Selesaikan persamaan kuadrat x^2 +8x -9=0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Jawab :

tentukan  a=1, b=8, c=-9

x^2+8x-9 =0 (kedua ruas ditambah c yaitu 9)

x^2 +8x -9 +9 =0 +9 x^2 +8x =9 (kedua ruas di tambah (b/2)^2

yaitu (8/2)^2= (4)^2 ) x^2 +8x + (4)^2 = (4)^2 +9

bentuknya dapat diubah menjadi (x + 4) ^2 = 16 +9 (kedua ruas di akarkan)

x + 4 = +-V(25)

x +4 = +- 5 x =-4 +- 5

Jadi diperoleh lah akar2nya  x1 =-4 +5 = 1 atau x2 = -4 -5 =-9

" Jenis - Jenis Persamaan Kuadrat "

Jenis persamaan kuadrat ditentukan oleh b^2 -4ac.

bentuk b^2 -4ac disebut juga dengan Diskriminasi, yang dinotasikan dengan D.

1) Jika D>0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar Real yang belainan

2) jika D=0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama

3) Jika D

Contoh Soal : tentukan sifat akar persamaan kuadrat 2x^2-5x -3=0

Jawab :

tentukan a=2, b=-5, c=-3

D = b^2 -4ac = (-5)^2 -4.(2).(-3) =49 maka D>0 ,

karena D>0 maka akar-akar dari persamaan tersbut adalah Real dan berlainan.

" Menentukan Jumlah dan Hasil Kali akar-akar persamaan kuadrat "

Telah ditentukan... jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah x1 dan x2,

maka  * x1+x2= -b/a * x1 . x2 =c/a

akibatnya ,

*kdua akar yang berlawanan

x1 = -x2

x1+ x2 =0

-b/a =0

b=0

* Kdua akar berkebalikan, yaitu

x1= 1/x2 maka

x1.x2=1

c/a =1

c=a

" Menyusun Persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui

" Contoh Soal :  Susun persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 5 !

jawab : misal, x1=3 dan x2=5 maka persamaan kuadratnya adalah x^2 -(x1+x2).x + (x1.x2)=0

x^2 -(3+5).x +( 3.5)=0 x^2-8x +15 =0 "